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Autor Mensaje
NotaPublicado: Lun Feb 23, 2015 1:37 pm 
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Discípulo de Stamateas

Mensajes: 17
Cursando: niguna
Universidad: ninguna
Siendo (pi) (numero irracional trascendente – infinitos decimales no periódicos) la relación (razón) entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana.
Otras relaciones: (básicas)
 Longitud de una circunferencia de radio (r): (C = 2*pi*r)
 Área del círculo de radio (r): (A = pi*r^2)
 Área de una esfera de radio (r): (A = 4*pi*r^2)
 Volumen de una esfera de radio (r): (V = (4/3)*pi*r^3)

¿(pi) es un número irracional?
Heinrich Lambert: demostró que si (x) es racional la tan(x) es irracional. Entonces, si tan(x) es racional (x) es irracional. Siendo tan(pi/4)=1, (pi/4) es irracional; entonces: (pi) es irracional. ¿No será demasiado simple?, je.

¿f(x)=pi es verificable?
Verificabilidad: relación entre una proposición y su verificación. No es la verdad de un juicio lo que nos asegura su verificabilidad, sino la verificabilidad lo que nos asegura su verdad. No se comprueban las verdades, se "verifican" las comprobaciones. Es decir no hay juicios verdaderos, que luego comprobamos; sino comprobaciones que nos permiten formular juicios verdaderos. Mientras no hay comprobación posible, ningún juicio es ni verdadero ni falso (en un contexto donde la concepción de verdad esté relacionada con el principio del tercero excluido: lógica bivalente).

Nota: Tengo por ejemplo un numero (a), opero para determinar su valor y obtengo 3.1415... {aclaración: el enunciado no afirma que: (a=pi)} Ahora, tomemos la proposición: "el numero (a) es igual a (pi)", ¿es verdadera o falsa? Opero, sigo y sigo obteniendo decimales de (a) {reconociéndolos como coincidentes respecto de decimales (previamente reconocidos como correctos {uhm…})} de (pi). Sin embargo, aun en este posiblemente inmejorable contexto; no creo poder verificar que: (a=pi). Y si no puedo verificarlo en una concepción de verdad de verificabilidad, la proposición "el numero (a) es igual a (pi)", ni es verdadera ni es falsa.

Errores en el cálculo de los decimales de (pi):
 1789: Jurij Vega – cálculo 140 decimales de los cuales 14 estaban equivocados.
 1841: William Rutherford – cálculo 208 decimales de los cuales 56 estaban equivocados.
 1844: Zacharias Dase y Strassnitzky – calcularon 205 decimales de las cuales 5 estaban equivocados.
 1853: William Rutherford – cálculo 440 decimales, sin equivocaciones.
 1874: William Shanks – cálculo 707 decimales de las cuales 178 estaban equivocados.

Determinando cuán rápido converge una sucesión o serie numérica (orden de convergencia):
Dada la sucesión (X) que converge a (nx), diremos que el orden de convergencia es (p)0 si el límite (lim (n a infinito) ([X(n)–(nx)]/[X(n-1)–(nx)]^p)) es finito (C).
Entonces, para (n) suficientemente grande tendremos: ([X(n)–(nx)] ≈ C*[X(n-1)–(nx)]^p). Vemos que si la diferencia entre (Xn) y (nx) es pequeña, cuanto más grande sea (p: orden de convergencia), más rápido convergerá (también es el caso cuanto menor sea (C), pero resulta ser menos representativo).
Experimentalmente: (determinando el orden de convergencia)
E(n) ≈ [X(n)–(nx)]; E(n+1) ≈ C*E(n)^p; E(n+2) ≈ C*E(n+1)^p;
E(n+2)/E(n+1) ≈ (E(n+1)/E(n))^p; P ≈ log(E(n+2)/E(n+1))/log(E(n+1)/E(n)), mientras más grande sea (n) más representativa será esta ecuación.

Calculando órdenes de convergencia (algoritmo):
Función [p, err]=orden(x, valor)
Entradas:
1) Un vector [x(1), x(2), ..., x(i)] conteniendo los (i) primeros términos de una sucesión.
2) El valor al que converge la sucesión: (nx = valor).
Salidas:
1) Los (i) errores [err(1), err(2), ..., err(i)], donde err(n)=abs(x(n)-(nx)).
2) Las (i−2) estimaciones del orden de convergencia [p(1), p(2), ..., p(i-2)], donde p(n)=log(err(n+2)/err(n+1))/log(err(n+1)/err(n)).

Nota: habitualmente se desconoce el valor exacto del lımite: (nx: en nuestro caso (pi)). En esos casos, se utilizaría la mejor estimación disponible (usualmente, el último elemento de la sucesión).
Ejemplo de una muy mala elección de (nx), je: pi = 4*Sumatoria (n=1 a infinito) (-1^(n-1)/(2n-1)) = 4*(1-1/3+1/5-1/7+…); entonces para (n=4): (nx = 2,895238095…). O sea: se basan en previas aproximaciones al número (pi) {de verificación circular, nada… (bueno si, pero solo de las afortunadamente no viciadas; ¿sí?)}.

¿fórmulas para calcular decimales de (pi) o f(x)?
 Ramanujan:
1/pi = sqrt(8)/9801*sumatoria (0 a infinito) {[(4n)!*(1103+26390n)]/[(n!)^4*396^(4n)]}
 Fabrice Bellard:
 pi = 1/64 sumatoria (0 a infinito) {(-1)^n/2^(10n)*[-2^5/(4n+1)-1/(4n+3)+2^8/(10n+1)-2^6/(10n+3)-2^2/(10n+5)-2^2/(10n+7)+1/(10n+9)]}
 Françoise Viète:
 2/pi = sqrt(1/2)*sqrt((1/2)+1/2*sqrt(1/2))*sqrt((1/2)+1/2*sqrt((1/2+1/2*sqrt(1/2))*…
 Wallis:
 pi/2 = 2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7*8/7*...*(2n)/(2n-1)*(2n)/(2n+1)*...
 Mediante series de Taylor:
 pi/2 = 1+1/2*1/3+(1*3)/(2*4)*1/5+(1*3*5)/(2*4*6)*1/7+...
 Mediante series de Fourier:
 pi/4 = 1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... {conocida como serie de Leibniz}.

5 billones de decimales de (pi):
Chudnovsky: (cálculo de decimales)
1/pi = (sqrt(10005)/4270934400)*Sumatoria (k=0 a infinito) (
(6k!*(13591409+545140134k))/((k!^3*3k!)*640320^(3k))
Plouffe: (verificación)
pi = Sumatoria (k=0 a infinito) (1/(16)^k*(4/(8k+1)-2/(8k+4)-1/(8k+5)-1/(8k+6)))
Bellard: (verificación)
pi = 1/(2)^6*Sumatoria (k=0 a infinito) (-1^k/1024^k*(256/(10k+1)+1/(10k+9)-64/(10k+3)-32/(4k+1)-4/(10k+5)-4/(10k+7)-1/(4k+3)))

Opinión provisional: Tomando en consideración lo poco que creo entender del método (genérico) empleado en el cálculo de decimales de (pi), concluyo (provisionalmente) que: no logra convencerme de su exactitud.
Quizás sea por no ser matemático (o por mi desconocimiento profundo del: análisis de convergencia de una serie numérica o sucesión). Pero afirmar (apodícticamente) un específico y convalidante orden de convergencia de un serie numérica o sucesión, hacia un valor (limite) desconocido: (pi) y, sin tan siquiera ser f(x) la consecuencia de operar relaciones entre la longitud de una circunferencia y su radio; creo que es un temerario acto de fe.


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NotaPublicado: Lun Feb 23, 2015 7:38 pm 
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Traducción al español por Huan Manwë